Volkomen Kwadraten en Irrationale Getallen

Een irrationaal getal is een reëel dat niet kan geschreven worden als a/b met a ∈ ℤ (een geheel getal) en b ∈ ℤ₀ (een natuurlijk getal). Een getal is een volkomen kwadraat als het het kwadraat is van een geheel getal. Een paar voorbeelden zijn 1, 4, 16 etcetera. Een ‘interessante’ eigenschap van volkomen kwadraten is dat ze altijd eindigen op een even aantal nullen (geen nul is ook een even aantal). Je kan dit inzien door naar de kwadraten van 1 tot 10 te bekijken die allemaal niet op een nul eindigen behalve 10² dat eindigt op 2 nullen. Getallen 11 to 19 kunnen geschreven worden als 10 + b met b gaand van 1 tot 9. Het kwadraat is dan (10 + b)² waar je de formule (a + b)² = a² + 2ab + b² voor kan gebruiken. In dit geval krijg je (10 + b)² = 100 + 20b + b². b² eindigt niet op nul dus al deze getallen eindigen niet op nul. Waarom noem ik deze eigenschap interessant ? Omdat je dit als een ‘truc’ kan gebruiken om te bewijzen dat bvb. √10 geen rationaal getal is. Het bewijs is een rechttoe rechtaan reductio ad absurdum bewijs waar je gebruik maakt van deze eigenschap.